Question

2．已知由正數(shù)組成的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁=1，且滿足S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²，則a_n=2n-1．

Answer 1

分析 通過S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²，利用4S_n=（a_n+1）²、4S_n+1=（a_n+1+1）²兩式作差，計算可知數(shù)列{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，進而計算可得結論．

解答 解：∵S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²，
∴4S_n=（a_n+1）²，4S_n+1=（a_n+1+1）²，
兩式相減得：4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²
=[（a_n+1+1）-（a_n+1）][（a_n+1+1）+（a_n+1）]
=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n+2）
=${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$+2（a_n+1-a_n），
∴2（a_n+1+a_n）=${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案為：2n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．