Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n=2-3S_n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用公式a_n=S_n-S_n-1判斷{a_n}為等比數(shù)列，再得出通項(xiàng)公式；
（II）先求出b_n得出{b_n}為等差數(shù)列，將兩數(shù)列分別求和得出T_n．

解答 解（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=2-3S_n①，得a_n-1=2-3S_n-1②，
①-②即得4a_n=a_n-1，
而當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-3a₁，故${a_1}=\frac{1}{2}$，
因而數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{4}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^{2n-1}}，n∈{N^*}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{2n-1}}$，故b_n=1-2n．
∴{b_n}是以-1為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列．
數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$+$\frac{（-1+1-2n）n}{2}$=$\frac{2}{3}$-n²-$\frac{2}{3•{4}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差，等比關(guān)系的判斷，數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．