Question

10．已知函數(shù)f（x）=x+ae^x（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x＜0，a≤1時(shí)，證明：x²+（a+1）x＞xf′（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：x+a＜（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），令g（x）=x+a-（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=1+（a+1）e^x，
a≥-1時(shí)，a+1≥0，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
a＜-1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＜-ln（-a-1），
令f′（x）＜0，解得：x＞-ln（-a-1），
∴f（x）在（-∞，-ln（-a-1））遞增，在（-ln（-a-1），+∞）遞減；
（2）f′（x）=1+（a+1）e^x，x＜0時(shí)，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為證明：x+a＜（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），
令g（x）=x+a-（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），
g′（x）=1-（a+2）e^x，
①a+2≤0即a≤-2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，0）遞增，
∴g（x）＜g（0）=-1＜0成立，
②-2＜a≤-1時(shí)，$\frac{1}{a+2}$≥1，令g′（x）=0，解得：x=ln$\frac{1}{a+2}$≥0，
g（x）在（-∞，0）遞增，
∴g（x）＜g（0）=-1＜0成立，
③-1＜a≤1時(shí)，1＜a+2≤3，$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{a+2}$＜1，
-ln3≤ln$\frac{1}{a+2}$＜0，
∴g（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a+2}$）遞增，在（ln$\frac{1}{a+2}$，0）遞減，
g（x）max=g（ln$\frac{1}{a+2}$）=-ln（a+2）+a-$\frac{a+1}{a+2}$＜0，成立，
綜上，當(dāng)x＜0，a≤1時(shí)，x²+（a+1）x＞xf′（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．