【題目】已知F1 , F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點.且∠F1PF2= ,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A.
B.
C.3
D.2
【答案】A
【解析】解:設(shè)橢圓的長半軸為a,雙曲線的實半軸為a1 , (a>a1),半焦距為c, 由橢圓和雙曲線的定義可知,
設(shè)|PF1|=r1 , |PF2|=r2 , |F1F2|=2c,
橢圓和雙曲線的離心率分別為e1 , e2
∵∠F1PF2= ,
∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos ,①
在橢圓中,①化簡為即4c2=4a2﹣3r1r2 ,
即 ,②
在雙曲線中,①化簡為即4c2=4a12+r1r2 ,
即 ,③
聯(lián)立②③得, =4,
由柯西不等式得(1+ )( )≥(1× + )2 ,
即( ) =
即 ,d當且僅當 時取等號,
法2:設(shè)橢圓的長半軸為a1 , 雙曲線的實半軸為a2 , (a1>a2),半焦距為c,
由橢圓和雙曲線的定義可知,
設(shè)|PF1|=r1 , |PF2|=r2 , |F1F2|=2c,
橢圓和雙曲線的離心率分別為e1 , e2
∵∠F1PF2= ,
∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos =(r1)2+(r2)2﹣r1r2 ,
由 ,得 ,
∴ = ,
令m= = = ,
當 時,m ,
∴ ,
即 的最大值為 ,
法3:設(shè)PF1|=m,|PF2|=n,則 ,
則a1+a2=m,
則 = ,
由正弦定理得 = ,
即 = sin(120°﹣θ)≤ =
故選:A
根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系,結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線x+ay﹣1=0是圓C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的對稱軸,過點A(﹣4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=( )
A.2
B.6
C.4
D.2
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直二面角α﹣AB﹣β,P∈α,Q∈β,PQ與平面α,β所成的角都為30°,PQ=4,PC⊥AB,C為垂足,QD⊥AB,D為垂足,求:
(1)直線PQ與CD所成角的大小
(2)四面體PCDQ的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(ex+1)(ax+2a﹣2),若存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)﹣2<0成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(0, )
C.(﹣∞,1)
D.(﹣∞, )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù))
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若對任意的,都存在使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線c1:y2=2px(p>0)與曲線c2:(x﹣6)2+y2=36只有三個公共點O,M,N,其中O為坐標原點,且 =0.
(1)求曲線c1的方程;
(2)過定點M(3,2)的直線l與曲線c1交于A,B兩點,若點M是線段AB的中點,求線段AB的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= .
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的余弦;
(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(0)=0,②f(x)+f(1﹣x)=1,③f( )= f(x)且當0≤x1<x2≤1時,f(x1)≤f(x2),則f( )+f( )等于( )
A.1
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com