Question

如圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n＞1，n∈N）個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為a_n，則

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2013a2014

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：

分析：根據(jù)題意，可得a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)為a_n=3（n-1）（n≥2）；所以

1

anan+1

=

1

3(n-1)•3n

=

1

9

（

1

n-1

-

1

n

），據(jù)此解答即可．

解答： 解：根據(jù)分析，可得
a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），
數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)為a_n=3（n-1）（n≥2）；
所以

1

anan+1

=

1

3(n-1)•3n

=

1

9

（

1

n-1

-

1

n

）
則

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2013a2014

=9×

1

9

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

）
=1-

1

2013

=

2012

2013

故答案為：

2012

2013

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圖形的變化類，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的圖形中點(diǎn)數(shù)的變化推得a_n=3（n-1）（n≥2）．