Question

對任意x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1，設a_n=[f（n）]²-2f（n），數(shù)列{a_n}的前2013項和為-1003，則f（2013）=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1可變形為[f（x+1）]²-2f（x+1）+1=2f（x）-[f（x）]²，從而a_n+1+a_n=-1，再由數(shù)列{a_n}的前2013項和為-1003可求a₂₀₁₃=3，則[f（2013）]²-2f（2013）=3，
由此可求答案，注意判斷f（2013）的范圍．

解答： 解：∵f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1，
∴f（x+1）-1=

2f(x)-[f(x)]2

，
兩邊平方得：[f（x+1）-1]²=2f（x）-f（x）²
⇒[f（x+1）]²-2f（x+1）+1=2f（x）-[f（x）]²，
即a_n+1+a_n=-1，即數(shù)列{a_n}任意相鄰兩項相加為常數(shù)-1，
則S₂₀₁₃=1006×（-1）+a₂₀₁₃=-1003⇒a₂₀₁₃=3，
∴[f（2013）]²-2f（2013）=3，
解得f（2013）=3或-1，
又由f（x+1）=

2f(x)-[f(x)]2

+1，可得f（x+1）≥1，
可得f（2013）=3．
故答案為：3．

點評：該題為數(shù)列與函數(shù)的綜合題，利用函數(shù)的性質推得數(shù)列遞推式是解決該題的關鍵，本題容易忽略對f（2013）范圍的判斷．