Question

已知拋物線y²=8x的焦點F到雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為

4 5

5

，點P是拋物線y²=8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A、

  y2

  2

  -

  x2

  3

  =1
• B、

  y2

  4

  -x²=1
• C、y²-

  x2

  4

  =1
• D、

  y2

  3

  -

  x2

  2

  =1

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義，可得當P，F(xiàn)，F(xiàn)₁共線時，和|PF₁|+|PF|取得最小值，且為|FF₁|=3，即有c²=5，再由雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式可得a=2，從而b=1，進而得到雙曲線的方程．

解答： 解：拋物線y²=8x的焦點為（2，0），準線方程為x=-2，
則P到雙曲線C的上焦點F₁（0，c）的距離
與到直線x=-2的距離之和，即為|PF₁|+|PF|，
當P，F(xiàn)，F(xiàn)₁共線時，和取得最小值，且為|FF₁|=3，
即有c²+4=9，即有c²=5，
又F（2，0）到直線ax+by=0的距離為為

4 5

5

，
即

2a

5

=

4 5

5

，即a=2，則b=1，
則該雙曲線的方程為

y2

4

-x²=1．
故選B．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查雙曲線的方程和性質，考查點到直線的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．