5.已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>0,b>0)$與函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象交于點(diǎn)P,若函數(shù)y=$\sqrt{x}$的圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)F(-2,0),則雙曲線(xiàn)的離心率是( 。
A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$B.$\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$D.$\frac{3}{2}$

分析 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線(xiàn)的離心率.

解答 解:設(shè)P(m,$\sqrt{m}$),
函數(shù)y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$,
可得切線(xiàn)的斜率為$\frac{1}{2\sqrt{m}}$,
又在點(diǎn)P處的切線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)F(-2,0),
可得$\frac{1}{2\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{m}}{m+2}$,解得m=2,
即P(2,$\sqrt{2}$),
可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{^{2}}$=1,又c2=a2+b2.c=2,
解得a=b=$\sqrt{2}$,
則雙曲線(xiàn)的離心率是e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$,
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查過(guò)曲線(xiàn)外一點(diǎn)作曲線(xiàn)切線(xiàn)的基本方法,結(jié)合雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率,對(duì)考生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力提出較高要求.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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13.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a,0),B(2,4),其中a≠0,已知$\overrightarrow{OA}$⊥(2$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AB}$),求a的值.

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14.已知3tan$\frac{α}{2}$+$ta{n}^{2}\frac{α}{2}$=1,sinβ=3sin(2α+β),則tan(α+β)=( 。
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10.有紅盒、黃盒、藍(lán)盒各一個(gè),只有-個(gè)盒子里有金幣.
紅盒上寫(xiě)有命題p:金幣在這個(gè)盒子里;
黃盒上寫(xiě)有命題q:金幣不在這個(gè)金子里;
藍(lán)盒上寫(xiě)有命題r:金幣不在紅盒里.
p、q、r中有且只有一個(gè)是真命題,則金幣在黃盒子里.

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17.已知f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),當(dāng)a,b∈[-2,2],且a+b≠0時(shí),有$\frac{f(a)+f(b)}{a+b}>0$.
(1)比較f(1)與f(0)的大;
(2)若m>n,試比較f(m)與f(n)的大;
(3)若f(2)=1,f(x)≤t2-2bt+1,對(duì)所有x∈[-2,2],b∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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14.若球的直徑SC=2,A,B是球面上的兩點(diǎn),AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∠SCA=∠SCB=60°,則棱錐S-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$.

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15.證明數(shù)列an=${2}^{{2}^{n}}$+1(n=0,1,2,….)的任意兩項(xiàng)都是互素的.

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