Question

14．若球的直徑SC=2，A，B是球面上的兩點，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠SCA=∠SCB=60°，則棱錐S-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 設球心為O，連結(jié)AO、BO，取CO的中點D，連結(jié)AD、BD．由球的直徑的性質(zhì)可得△SAC中∠SAC=90°，結(jié)合∠ASC=30°且SC=2，算出AC=1，可得△AOC是邊長為1的正三角形，得出AD⊥SC且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，同理BD⊥SC且BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．由此可得△ABD是邊長為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的等邊三角形且SC⊥平面ABD，再利用錐體的體積公式加以計算，可得三棱錐S-ABC的體積．

解答 解設球心為O，連結(jié)AO、BO，取CO的中點D，連結(jié)AD、BD，
∵SC為球的直徑，A、B是球面上的點，∴∠SAC=∠SBC=90°．
又∵∠SCA=∠SCB=60°，SC=2，∴BC=AC=$\frac{1}{2}$SC=1．
∵△AOC中，AO=CO=AC=1，∴△AOC是邊長為1的正三角形，
又∵D為CO的中點，∴AD⊥SC且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
同理可得BD⊥SC且BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線，∴SC⊥平面ABD．
∵AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABD是等邊三角形，可得S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD×BDsin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．
因此，三棱錐S-ABC的體積為
V=V_C-ABD+V_S-ABD=$\frac{1}{3}$×S_△ABD×CD+$\frac{1}{3}$×S_△ABD×SD=$\frac{1}{3}$×S_△ABD（CD+SD）
=$\frac{1}{3}$S_△ABD×SC=$\frac{1}{3}$×2×$\frac{3\sqrt{3}}{16}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題給出球的直徑與兩條直線所成角的大小，求球內(nèi)接三棱錐的體積．著重考查了球的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體、線面垂直的判定定理與錐體體積求法等知識，屬于中檔題．