Question

10．如圖，三四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=$\sqrt{2}$，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（2）線段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距離為$\frac{3}{2}$？若存在，求出$\frac{AQ}{QD}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中點O，連接PO，BO，證明OBCD是平行四邊形，可得OB∥DC，在證明PO⊥平面ABCD，∠POB是異面直線PB與CD所成的角，利用Rt△POA即可求解．
（2）假設存在點Q，使得它到平面的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．設QD=x，則${S_{△DQC}}=\frac{1}{2}x$，利用V_P-DQC=V_Q-PCD
求解x的值，即可得到$\frac{AQ}{QD}$的值．

解答 解：（1）設O為AD中點，連接PO，BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，
∴四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB∥DC，
在△PAD中PA=PD，O為AD中點，
∴PO⊥AD．側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
故PO⊥OB，∠POB為銳角，所以∠POB是異面直線PB與CD所成的角．
∵AD=2AB=2BC=2，在RtAOB中，AB=1，AO=1，
∴$OB=\sqrt{2}$，
在Rt△POA中，∵$AP=\sqrt{2}，AO=1$，∴OP=1，
在Rt△PBO中，$PB=\sqrt{3}$，所以$cos∠PBO=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴異面直線PB與CD所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）假設存在點Q，使得它到平面的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
設QD=x，則${S_{△DQC}}=\frac{1}{2}x$，由（1）得$CD=OB=\sqrt{2}$，
在Rt_△POC中，$PC=\sqrt{2}$，
∴$PC=CD=DP，{S_{△PCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（{\sqrt{2}}）^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由V_P-DQC=V_Q-PCD
解得：$x=\frac{3}{2}$，
∴存在點Q滿足題意，
此時$\frac{AQ}{QD}=\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查了異面直線所成角的證明與計算，同時考查了體積關系的換算來求解距離問題．屬于中檔題．