Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過A（1，

6

3

），B（0，-1）兩點．
（1）求橢圓G方程；
（2）設(shè)y=x+m與橢圓交于兩不同點M、N，是否存在實數(shù)m，使|BM|=|BN|？

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將A，B兩點代入橢圓方程，解得a，b即可；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，應(yīng)用韋達(dá)定理和判別式大于0，再由中點坐標(biāo)公式，求出MN的中點P，再假設(shè)存在實數(shù)m，使|BM|=|BN|，則有BP⊥MN，運(yùn)用斜率公式即可得到m，檢驗即可判斷．

解答： 解：（1）由已知可得，

1

a2

+

2

3b2

=1，且

0

a2

+

1

b2

=1，
解得，a=

3

，b=1，
則有橢圓G方程：

x2

3

+y²=1；
（2）設(shè)y=x+m與橢圓交于兩不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到4x²+6mx+3m²-3=0，
判別式△=36m²-16（3m²-3）＞0，解得，-2＜m＜2．
x₁+x₂=-

3m

2

，
則MN中點P（-

3m

4

，

m

4

）．
假設(shè)存在實數(shù)m，使|BM|=|BN|，則有BP⊥MN，
則BP的斜率為-1，即有

m 4 +1

- 3m 4

=-1，解得，m=2．
檢驗不成立，則不存在實數(shù)m，使|BM|=|BN|．

點評：本題考查橢圓的方程和應(yīng)用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，應(yīng)用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查兩直線的垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．