Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在[

3

2

，+∞)上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）令t=1-x，則x=1-t，利用換元法，根據(jù)f（1-x）=x²-3x+3．可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行分類討論，可得答案．

解答：解：（1）令t=1-x，則x=1-t
∵f（1-x）=x²-3x+3．
∴f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3=t²+t+1．
即f（x）=x²+x+1．
（2）由（1）得g（x）=f（x）-（1+2m）x+1=x²-2mx+2=（x-m）²+2-m²，x∈[

3

2

，+∞)
若m≥

3

2

，則當(dāng)x=m時(shí)，g（x）取最小值2-m²=-2，
解得m=2，或m=-2（舍去）
若m＜

3

2

，則當(dāng)x=

3

2

時(shí)，g（x）取最小值

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

（舍去）
綜上可得：m=2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的最值及其幾何意義，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．