Question

10．在平面內(nèi)有n（n∈N^*）條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，若這n條直線把平面分成f（n）個(gè)平面區(qū)域，則f（3）=7；f（n）=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出幾個(gè)特殊的值，再分析前k條直線與第k+1條直線，把平面分成的區(qū)域之間的關(guān)系，歸納出關(guān)系式f（k+1）-f（k）=k+1，再根據(jù)數(shù)列求和求出f（n）的關(guān)系式，問題解決．

解答 解：一條直線（k=1）把平面分成了2部分，記為f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…
設(shè)前k條直線把平面分成了f（k）部分，
第k+1條直線與原有的k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分為k+1段，
這k+1段將平面上原來的f（k）部分的每一部分分成了2個(gè)部分，共2（k+1）部分，相當(dāng)于增加了k+1個(gè)部分，
∴第k+1條直線將平面分成了f（k+1）部分，
則f（k+1）-f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得
f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，
把這n-1個(gè)等式累加，得 f（n）=2+$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$=2+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．
故答案為：7，$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了歸納推理，以及數(shù)列遞推式，屬于中檔題．所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識推出一般性結(jié)論的推理．考查學(xué)生的推理能力．