Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，記f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，則f（x）的最小值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）
=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
∵f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
∴f²（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1+1+2cos2x=2+2cos2x，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
∴當(dāng)2x=$\frac{π}{2}$時(shí)，2+2cos2x取得最小值2+0=2，
即f（x）=$\sqrt{2+2cos2x}$的最小值為$\sqrt{2}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．