Question

15．已知α∈[$\frac{π}{4}$，π]，β∈[π，$\frac{3π}{2}$]，sin2α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（β-α）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求cos2α的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求范圍2α∈[$\frac{π}{2}$，π]，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos2α的值．
（2）由（1）及已知可求范圍：β-α∈[$\frac{π}{2}$，π]，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（β-α）的值，由α+β=2α+（β-α），利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求cos（α+β）的值，結(jié)合范圍α+β∈[$\frac{5π}{4}$，2π]，即可得解α+β的值．

解答 解：（1）∵α∈[$\frac{π}{4}$，π]，
∴2α∈[$\frac{π}{2}$，2π]，
∵sin2α=$\frac{\sqrt{5}}{5}＞0$，
∴2α∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）由（1）得2α∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，又β∈[π，$\frac{π}{2}$]，
∴β-α∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]，
∵sin（β-α）=$\frac{\sqrt{10}}{10}＞0$，
∴β-α∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴cos（β-α）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（β-α）}$=$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cos（α+β）=cos[2α+（β-α）]=cos2αcos（β-α）-sin2αsin（β-α）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）-$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，β∈[π，$\frac{3π}{2}$]，
∴α+β∈[$\frac{5π}{4}$，2π]，
故$α+β=\frac{7π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．