Question

9．記方程①：x²+a₁x+1=0，方程②：x²+a₂x+2=0，方程③：x²+a₃x+4=0，其中a₁，a₂，a₃是正實數(shù)．當a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程③無實根的是（　　）

• A． 方程①有實根，且②有實根
• B． 方程①有實根，且②無實根
• C． 方程①無實根，且②有實根
• D． 方程①無實根，且②無實根

Answer 1

分析 根據(jù)方程根與判別式△之間的關(guān)系求出a₁²≥4，a₂²＜8，結(jié)合a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列求出方程③的判別式△的取值即可得到結(jié)論．

解答 解：當方程①有實根，且②無實根時，△₁=a₁²-4≥0，△₂=a₂²-8＜0，
即a₁²≥4，a₂²＜8，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴a₂²=a₁a₃，
即a₃=$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{1}}$，
則a₃²=（$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{1}}$）²=$\frac{{{a}_{2}}^{4}}{{{a}_{1}}^{2}}$$＜\frac{{8}^{2}}{4}=16$，
即方程③的判別式△₃=a₃²-16＜0，此時方程③無實根，
故選：B

點評 本題主要考查方程根存在性與判別式△之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)判斷判別式△的取值關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．