Question

8．若正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB，CC₁的中點(diǎn)，則異面直線EF和A₁C₁所成角的大小是30°．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，取AA₁中點(diǎn)G，連接FG，可得異面直線EF和A₁C₁所成角即為∠EFG，然后設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，通過(guò)求解直角三角形求出△EFG的三邊長(zhǎng)，再利用余弦定理求得答案．

解答 解：如圖，

取AA₁中點(diǎn)G，連接FG，EG，
則FG∥A₁C₁，
異面直線EF和A₁C₁所成角即為∠EFG．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則$FG={A}_{1}{C}_{1}=2\sqrt{2}$，
GE=$\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{E{B}^{2}+B{C}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{6}$．
在△EFG中，cos∠EFG=$\frac{E{F}^{2}+G{F}^{2}-E{G}^{2}}{2•EF•EG}=\frac{（\sqrt{6}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\sqrt{6}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠EFG=30°．
即異面直線EF和A₁C₁所成角的大小是30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線及其所成的角，考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過(guò)三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧，是中檔題．