設(shè)
a
=(1+cosα,sinα),
b
=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π),β∈(0,π),
a
c
的夾角為θ1,
b
c
的夾角為θ2
(1)用α表示θ1
(2)若θ12=
π
6
,求sin
α+β
4
的值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用向量的夾角公式、倍角公式即可得出;
(2)利用向量的夾角公式可得θ2,進(jìn)而得出答案.
解答: 解:(1)|
a
|
=
(1+cosα)2+sin2α
=
2+2cosα
|
c
|
=1,
a
c
=1+cosα.
a
c
=|
a
|
 |
c
|
cosθ1,∴cosθ1=
1+cosα
2+2cosα
=
1+cosα
2
=
cos2
α
2

∵α∈(0,π),∴
α
2
∈(0,
π
2
)
,∴θ1=
α
2

(2)|
b
|
=
(1-cosβ)2+sin2β
=
2-2cosβ
,
b
c
=1-cosβ.
b
c
=|
b
|
 |
c
|
cosθ2,
∴cosθ2=
1-cosβ
2-2cosβ
=
sin2
β
2
=sin
β
2
=cos(
π
2
-
β
2
)
(β∈(0,π)).
θ2=
π
2
-
β
2

∵θ12=
π
6
,∴
α+β
2
=
3

∴sin
α+β
4
=sin
π
3
=
3
2
點(diǎn)評:本題考查了向量的夾角公式、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式
3x+1
x-4
≤0的解集是
 

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已知多面體ABCDFE中,四邊形ABCD為矩形,AB∥EF,AF⊥BF,平面ABEF⊥平面ABCD,O、M分別為AB、FC的中點(diǎn),且AB=2,AD=EF=1.
(Ⅰ)求證:AF⊥平面FBC;
(Ⅱ)求證:OM∥平面DAF;
(Ⅲ)設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為VF-ABCD,VF-CBE,求VF-ABCD:VF-CBE的值.

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如圖,△BCD是等邊三角形,AB=AD,∠BAD=90°,將△BCD沿BD折疊到△BCD的位置,使得AD⊥C′B.
(l)求證:AD⊥AC′;
(2)若M、N分別為BD,C′B的中點(diǎn),求二面角N-AM-B的正弦值.

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已知f(x)是定義在[-1,2)上的增函數(shù),若f(a-1)>f(1-3a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x2
ax+b
(a,b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩實(shí)根x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若k>1,解關(guān)于x的不等式f(x)≥
x2+(k-1)x-k
2-x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)全集為R,A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7}.
求:(1)A∪B;
(2)(CRA)∩B.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E、F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD的邊BC垂直于圓O所在的平面,且AB=2,AD=EF=1.
(Ⅰ)設(shè)CD的中點(diǎn)為M,求證:EM∥平面DAF;
(Ⅱ)求三棱錐B-CME的體積.

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