Question

6．設曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x，y軸正方向分別平移t，s（t≠0）個單位長度后得到曲線C₁．
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）如果曲線C與C₁有且僅有一個公共點，證明：s=$\frac{{t}^{3}}{4}$-t．

Answer 1

分析 （1）將C沿x軸、正向平移t單位長度后，x變?yōu)閤-t，將C沿y軸正向平移s單位長度后，y 變?yōu)閥-s；
（2）曲線C與C₁有且僅有一個公共點，即方程組有唯一解，對應的一元二次方程的判別式等于0，即可證明結論．

解答 （1）解：根據(jù)題意，將C沿x軸、正向平移t單位長度后，x變?yōu)閤-t，將C沿y軸正向平移s單位長度后，y 變?yōu)閥-s，則可得C₁：y-s=（s-t）³-（x-t）．①
（2）證明：因為曲線C與C₁有且僅有一個公共點，所以，方程組曲線C與C₁聯(lián)立，有且僅有一組解．
消去y，整理得 3tx²-3t²x+（t³-t-s）=0，這個關于x的一元二次方程有且僅有一個根．
所以t≠0并且其根的判別式△=9t⁴-12t（t³-t-s）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{t≠0}\\{t（{t}^{3}-4t-4s）=0}\end{array}\right.$
所以s=$\frac{{t}^{3}}{4}$-t且t≠0．

點評 本小題主要考查函數(shù)圖象、方程與曲線，曲線的平移、對稱和相交等基礎知識，考查運動、變換等數(shù)學思想方法以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．