Question

14．過(guò)拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)E作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0．求直線AB的方程．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，可得E的坐標(biāo)，設(shè)直線AB：y=k（x+1），（k≠0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理解方程可得k，進(jìn)而得到直線AB的方程．

解答 解：拋物線y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，F(xiàn)（1，0），
可得E（-1，0），
設(shè)直線AB：y=k（x+1），（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程，消去x，可得
$\frac{k}{4}$y²-y+k=0，判別式1-k²＞0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=4，
即有y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=$\frac{16}{{k}^{2}}$-8，
若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0，則y₁y₂+（x₁-1）（x₂-1）=0，
即為4+1-$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²）+$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=0，
即5-$\frac{1}{4}$（$\frac{16}{{k}^{2}}$-8）+1=0，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入判別式可得△＞0成立．
即有直線AB的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．