Question

11．求函數(shù)f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x），x∈（0，$\frac{π}{2}$）的值域．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x）=sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$+$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$，從而由函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式確定函數(shù)的值域．

解答 f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x）
=sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$+$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$，
∵sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$≥$\frac{5}{2}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)sinx=cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立）
$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$≥2，
（當(dāng)且僅當(dāng)sinx=cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立）
∴sinxcosx+$\frac{1}{sinxcosx}$+$\frac{sinx}{cosx}$+$\frac{cosx}{sinx}$≥$\frac{9}{2}$；
故函數(shù)f（x）=（sinx+sin^-1x）（cosx+cos^-1x），x∈（0，$\frac{π}{2}$）的值域?yàn)閇$\frac{9}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域的求法及三角函數(shù)與基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．