Question

（2013•婺城區(qū)模擬）在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P為線段AB上的點(diǎn)，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y

CB

| CB |

，則xy的最大值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求 cosC的值，再由

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6可得bccosA=9，

1

2

bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得

CP

=λ

CA

+(1-λ)

CB

=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），設(shè)

CA

| CA |

=

e1

，

CB

| CB |

=

e2

則|

e1

|=|

e2

|=1，

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），由

CP

=x•

CA

| CA |

+y

CB

| CB |

推出x與y的關(guān)系式，利用基本不等式求解最大值．

解答：解：△ABC中設(shè)AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0
∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6
∴bccosA=9，

1

2

bcsinA=6
∴tanA=

4

3

，根據(jù)直角三角形可得sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得

CP

=λ

CA

+(1-λ)

CB

=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
設(shè)

CA

| CA |

=

e1

，

CB

| CB |

=

e2

則|

e1

|=|

e2

|=1，

e1

=（1，0），

e2

=（0，1），
∴

CP

=x•

CA

| CA |

+y

CB

| CB |

=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4-4λ則4x+3y=12，
12=4x+3y≥2

12xy

，xy≤3
故所求的xy最大值為：3．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的

CA

| CA |

是一個(gè)單位向量，從而可用x，y表示

CP

，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3λ，y=4-4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最大值．