Question

4．函數(shù)f（x）滿足對定義域內的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），則函數(shù)f（x）可以是（　�。�

• A． f（x）=lnx
• B． f（x）=x²-2x
• C． f（x）=e^x
• D． f（x）=2x+1

Answer 1

分析 將所給的不等式化為：“f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）”，得到不等式對應的函數(shù)含義，根據(jù)基本函數(shù)同為增函數(shù)時的增長情況，對答案項逐一進行判斷即可．

解答 解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，
f（x+2）-f（x+1）＜f（x+1）-f（x）①，
∵（x+2）-（x+1）=（x+1）-x，
∴①說明自變量變化相等時，當自變量越大時，對應函數(shù)值的變化量越來越小，
對于A、f（x）=lnx是增長越來越慢的對數(shù)函數(shù)，當自變量越大時，
對應函數(shù)值的變化量越來越小，A正確．
對于B、f（x）=x²-2x在定義域上不是單調函數(shù)，在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）遞增，B錯；
對于C、f（x）=e^x是增長速度最快-呈爆炸式增長的指數(shù)函數(shù)，當自變量越大時，
對應函數(shù)值的變化量越來越大，C錯；
對于D、f（x）=2x+1是一次函數(shù)，且在R上直線遞增，函數(shù)值的變化量是相等的，D錯．
故選A．

點評 本題考查了基本函數(shù)同為增函數(shù)時的增長速度的應用，此題的關鍵是將不等式進行轉化，并能理解不等式所表達的函數(shù)意義，考查了分析問題、解決問題的能力．