Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，B E平分∠A BC交 AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥EB，且${A}D=2\sqrt{3}$，AE=6．
（I）判斷直線 AC與△BDE的外接圓的位置關(guān)系并說明理由；
（II）求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）取BD的中點(diǎn)0，連結(jié)OE，如圖，由∠BED=90°，根據(jù)圓周角定理可得BD為△BDE的外接圓的直徑，點(diǎn)O為△BDE的外接圓的圓心，再證明OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理判斷AC是△BDE的外接圓的切線；
（II）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得${（{r+2\sqrt{3}}）^2}={r^2}+{6^2}$，解得r=2$\sqrt{3}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由OE∥BC得$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AO}{OB}$，然后根據(jù)比例性質(zhì)可計(jì)算出EC．

解答 解：（I）取BD的中點(diǎn)0，連結(jié)OE，如圖，
∵DE⊥EB，
∴∠BED=90°，
∴BD為△BDE的外接圓的直徑，點(diǎn)O為△BDE的外接圓的圓心，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴OE⊥AE，
∴AC是△BDE的外接圓的切線．
（II）設(shè)△BDE的外接圓的半徑為r．
在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即${（{r+2\sqrt{3}}）^2}={r^2}+{6^2}$，解得$r=2\sqrt{3}$，
∵OE∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AO}{OB}$，即$\frac{6}{CE}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，
∴CE=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理．