已知a，b，c為都大于1的不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
＞ab+bc+ac．
分析：由于a，b，c為都大于1的不全相等的正實(shí)數(shù)，利用基本不等式得：
b2c2
a2
+
c2a2
b2
≥ 2c 2，
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥ 2a 2，
b2c2
a2
+
a2b2
c2
≥2b 2，三式相加得：
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥a 2+b 2+c 2，
再利用基本不等式即可得到證明．
解答：證明：∵a，b，c為都大于1的不全相等的正實(shí)數(shù)，
b2c2
a2
+
c2a2
b2
≥ 2c 2，
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥ 2a 2，
b2c2
a2
+
a2b2
c2
≥2b 2，
∴
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥a 2+b 2+c 2，
又a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb，
∴a2+b2+c2≥2ab+2bc+2ac
所以
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
≥ab+bc+ac
上述不等式取等條件是：當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c
由題意a，b，c不全相等，所以等號取不到
所以
b2c2
a2
+
c2a2
b2
+
a2b2
c2
＞ab+bc+ac
點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．使用基本不等式時(shí)一定要把握好“一定，二正，三相等”的原則．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b都是正數(shù)，△ABC是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以兩點(diǎn)A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點(diǎn)的正三角形，且它的第三個(gè)頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}內(nèi)，試求 變量 a，b 的約束條件，并在直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)內(nèi)畫出這個(gè)約束等條件表示的平面區(qū)域；
（2）當(dāng)（ a，b ）在（1）所得的約束條件內(nèi)移動時(shí)，求△ABC面積S的最大值，并求此時(shí)（a，b ）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c都是正數(shù)，則
ab+2bca2+b2+c2
的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006沖刺數(shù)學(xué)(四)、2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 題型：044

已知(a，b，c∈R)．

(1)若a＋c＝0，f(x)在[－2，2]上的最大值為，最小值為，求證：；

(2)當(dāng)b＝4，時(shí)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)M(a)使得x∈[0，M(a)]時(shí)都有|f(x)|≤5，問a為何值時(shí)M(a)最大，并求出這個(gè)最大值M(a)，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知在銳角ΔABC中，角所對的邊分別為，且

(I )求角大��；

(II)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

20．如圖1，在平面內(nèi)，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點(diǎn)，設(shè)直線過點(diǎn)且垂直于矩形所在平面，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，且與點(diǎn)位于平面的同側(cè)。

（1）求證：平面；

（2）設(shè)二面角的平面角為，若，求線段長的取值范圍。

 


21.已知A，B是橢圓的左，右頂點(diǎn)，，過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)M，N，交直線于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列,R和Q是橢圓上的兩動點(diǎn)，R和Q的橫坐標(biāo)之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點(diǎn)

(1)求橢圓C的方程；

（2）求三角形MNT的面積的最大值

22. 已知函數(shù) ，

（Ⅰ）若在上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為，試求和的值。

（Ⅱ）若為奇函數(shù)：

（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得在為增函數(shù)，為減函數(shù)，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（2）如果當(dāng)時(shí)，都有恒成立，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2005-2006學(xué)年重慶市武隆中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷2（解析版） 題型：解答題

已知a，b都是正數(shù)，△ABC是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以兩點(diǎn)A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點(diǎn)的正三角形，且它的第三個(gè)頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}內(nèi)，試求 變量 a，b 的約束條件，并在直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)內(nèi)畫出這個(gè)約束等條件表示的平面區(qū)域；
（2）當(dāng)（ a，b ）在（1）所得的約束條件內(nèi)移動時(shí)，求△ABC面積S的最大值，并求此時(shí)（a，b ）的值．

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