Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx-a（x∈R，a∈R）的最大值是2，求a的值．

Answer 1

分析 首先把函數(shù)f（x）=cos2x+asinx通過三角恒等變換轉(zhuǎn)化成以sinx為變量的二次函數(shù)，然后對a與區(qū)間[-1，1]的關(guān)系進(jìn)行討論．

解答 解：f（x）=-sin²x+2asinx+1-a=-（sinx-a）²+a²-a+1．
當(dāng)a≤-1時，f_max（x）=-（-1-a）²+a²-a+1=2，解得a=-$\frac{2}{3}$（舍）．
當(dāng)a≥1時，f_max（x）=-（1-a）²+a²-a+1=2，解得a=2．
當(dāng)-1＜a＜1，f_max（x）=a²-a+1=2，解得a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍）．
綜上，a=2或a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．