Question

12．已知雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂．已知點(diǎn) M坐標(biāo)為（2，1），雙曲線C上點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）滿足$\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{M{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}$=$\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，則S${\;}_{△{P}{M}{F_1}}}$-S${\;}_{△{P}{M}{F_2}}}$=2．

Answer 1

分析 利用$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，得出∠MF₁P=∠MF₁F₂，進(jìn)而求出直線PF₁的方程為y=$\frac{5}{12}$（x+3），與雙曲線聯(lián)立可得P（3，$\frac{5}{2}$），由此即可求出${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$．

解答 解：∵$\frac{{\overrightarrow{{P}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{P}{F_1}}}|}}=\frac{{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}•\overrightarrow{{M}{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{{F_2}{F_1}}}|}}$，
∴|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|cos∠MF₁P=|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|cos∠MF₁F₂，
∴∠MF₁P=∠MF₁F₂，
∵cos∠MF₁F₂=$\frac{5}{\sqrt{26}}$
∴cos∠PF₁F₂=2cos²∠MF₁F₂-1=$\frac{12}{13}$
∴tan∠PF₁F₂=$\frac{5}{12}$
∴直線PF₁的方程為y=$\frac{5}{12}$（x+3）
與雙曲線聯(lián)立可得P（3，$\frac{5}{2}$），
∴|PF₁|=$\frac{13}{2}$，
∵sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{26}}$
∴${S}_{△PM{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{13}{2}$×$\sqrt{26}$×$\frac{1}{\sqrt{26}}$=$\frac{13}{4}$，
∵${S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1$=$\frac{5}{4}$，
∴${S_{△{P}{M}{F_1}}}-{S_{△{P}{M}{F_2}}}$=2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．