Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（2x+

π

6

）
（1）當-

π

6

≤x≤

π

3

時，求函數(shù)y=f（x）的最大值和最小值及相應的x的值；
（2）若方程f（x）=a在區(qū)間[0，

2π

3

]上只有一個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）根據(jù)x的范圍，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．
（2）根據(jù)x的范圍，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，從而求得實數(shù)a的取值集合

解答： 解：（1）當-

π

6

≤x≤

π

3

時，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，-

3

2

≤cos(2x+

π

6

)≤1，
故f（x）最大值為2，此時x=-

π

12

，f（x）最小值為-

3

，此時x=

π

3

．
（2）f（x）在區(qū)間[0，

5π

12

]上是減函數(shù)，在[

5π

12

，

2π

3

]上是增函數(shù)，f(0)=

3

，f(

5π

12

)=-2，f(

2π

3

)=0，
所以當a=-2或0＜a≤

3

時，方程f（x）=a在區(qū)間[0，

2π

3

]上只有一個實數(shù)根．
于是滿足條件的實數(shù)a的取值集合是{a|0＜a≤

3

，或a=-2}．

點評：本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．