Question

已知f（x）=ax³+bx²-3x+c在x=-1時有極大值6，在x=1時有極小值，求a，b，c的值；并求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0，和x=-1時有極大值6這幾個條件很容易求出a，b，c的值，從而求出函數(shù)f（x）．求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值和最小值，就要看在[-2，1]上f（x）的單調(diào)性如何，有無極值，和端點值做比較，最大的取做最大值，最小的取做最小值．

解答： 解：f′（x）=3ax²+2bx-3；
由題意知：f′（-1）=0，所以3a-2b-3=0   ①
f（-1）=6，所以-a+b+3+c=6             ②
f′（1）=0，所以3a+2b-3=0             ③
由①②③得：a=1，b=0，c=4，所以f（x）=x³-3x+4，f′（x）=3x²-3，令3x²-3=0得：x=±1，所以，x∈[-2，-1）時，f′（x）＞0；
x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，且f（-1）=6，所以x=-1時，函數(shù)f（x）有極大值6，它也是f（x）在[-2，1]上的最大值，
所以f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值是6；
又f（-2）=2，f（1）=0，所以f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最小值是0．

點評：考查極值的概念，及利用導數(shù)求最值的方法．