Question

6．已知函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-e-$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，e+$\frac{1}{e}$）
• C． （-e-$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-∞，-e-1）

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)圖形得出f（x）=m的解得分布情況，得出關(guān)于m的方程m²+tm+1=0的根的分布情況，列不等式解出t．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=xe^x，f′（x）=e^x+xe^x=e^x（x+1）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-xe^x，f′（x）=-e^x（x+1），
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減，
f（x）的極大值為f（-1）=$\frac{1}{e}$，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)f（x）=m，由圖象可知：
∴當(dāng)m=0或m$＞\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=m有1解；
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=m有3解；
當(dāng)m=$\frac{1}{e}$時(shí)，方程f（x）=m有2解．
∵方程f²（x）+tf（x）+1=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
顯然f（x）≠0，
∴關(guān)于m的方程m²+mt+1=0在（0，$\frac{1}{e}$）和（$\frac{1}{e}$，+∞）上各有1解；
∴$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{t}{e}$+1＜0，
解得t＜-e-$\frac{1}{e}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．