Question

11．已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0相切
（1）求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．
（2）若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．
（3）過點(diǎn)G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點(diǎn)分別為M，N求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=-x+b，聯(lián)立圓C方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡解不等式，即可得到所求范圍；
（3）求出以G點(diǎn)為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程，與圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程相減，即可求直線MN的方程．

解答 解：（1）由題得：原點(diǎn)到直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距離為圓的半徑2，故圓C的方程為x²+y²=4
又圓心到直線l₂：4x-3y+5=0的距離d=$\frac{5}{\sqrt{16+9}}$=1
∴|AB|=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$…（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線L的方程為：y=-x+b，
聯(lián)立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
且x₁+x₂=b，x₁x₂=$\frac{^{2}-4}{2}$
∵∠POQ是鈍角，∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＜0
即x₁x₂+y₁y₂＜0，且$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$不是反向向量，
而y₁y₂=（-x₁+b）（-x₂+b）
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-b（x₁+x₂）+b²＜0
代入韋達(dá)定理，解之得-2＜b＜2，
而當(dāng)$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$反向時(shí)，b=0，
故所求直線縱截距的范圍是（-2，0）∪（0，2）…（8分）
（3）|OG|=$\sqrt{10}$，|GM|=$\sqrt{6}$
故以G為圓心，GM的長為半徑的圓G方程為（x-1）²+（y-3）²=6
又圓C方程為：x²+y²=4（2）
由（1）-（2）得直線MN方程為x+3y-4=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．