Question

2．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}滿足：若a∈S，則必有7-a∈S，問這樣的集合S有7個(gè)；請(qǐng)將該問題推廣到一般情況：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}滿足：若a∈A，則必有n+1-a∈A；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這樣的集合A有${2^{\frac{n}{2}}}-1$個(gè)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這樣的集合A有${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$個(gè)．

Answer 1

分析 若a∈S，則必有7-a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列舉法列出所求可能即可；針對(duì)n是否為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，分為奇數(shù)和偶數(shù)，然后，根據(jù)集合之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，則必有7-a∈S，
那么滿足上述條件的集合S可能為：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7個(gè)；
若n為偶數(shù)，則集合{1，2，3，…，n}的元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
因?yàn)閍∈A，則n+1-a∈A，
所以從集合{1，2，3，…，n}中取出兩數(shù)，使得其和為n+1，這樣的數(shù)共有$\frac{n}{2}$對(duì)，所以此時(shí)集合M的個(gè)數(shù)有${2^{\frac{n}{2}}}-1$個(gè)，
若n為奇數(shù)，則單獨(dú)取出中間的那個(gè)數(shù)，所以此時(shí)集合M的個(gè)數(shù)為${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$個(gè)．
故答案為：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}滿足：若a∈A，則必有n+1-a∈A；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這樣的集合A有${2^{\frac{n}{2}}}-1$個(gè)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這樣的集合A有${2^{\frac{n+1}{2}}}-1$個(gè)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了子集的定義，以及集合的限制條件下求滿足條件的集合，考查集合的元素特征，集合與集合之間的關(guān)系，元素與集合的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．