Question

4．過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)P作直線(xiàn)PA，PB交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k₁，k₂，若直線(xiàn)AB過(guò)原點(diǎn)，k₁k₂=2，則雙曲線(xiàn)的離心率等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于A，B連線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A，B一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用直線(xiàn)PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴兩式相減整理可得$\frac{{y}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
∴k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴該雙曲線(xiàn)的離心率e=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)差法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)代入化簡(jiǎn)，應(yīng)注意雙曲線(xiàn)幾何量之間的關(guān)系．