【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點A、B 及CD的中點P 處,已知AB=20km,CB =10km ,為了處理三家工廠的污水,現要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且與A、B等距離的一點O處建造一個污水處理廠,并鋪設排污管道AO、BO、OP ,設排污管道的總長度為km.
(1)按下列要求寫出函數關系式:①設∠BAO= (rad),將表示成的函數;②設OP (km) ,將表示成的函數.
(2)請選用(1)中的一個函數關系式,確定污水處理廠的位置,使鋪設的排污管道總長度最短.
【答案】(1)① ②(2)當污水處理廠建在矩形區(qū)域內且到A、B的距離均為 (km)時,鋪設的排污管道總長度最短.
【解析】試題分析:(1)第(1)問第①問,先根據已知把表示成的函數,再利用三角恒等變換的知識化簡函數. 第②問,直接利用兩點間的距離公式把表示成的函數.(2)第(2)問,先對函數求導,再求出函數的單調區(qū)間,最后根據單調區(qū)間得到函數的最小值.
試題解析:
(1)①由條件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO= (rad) ,
則, 故,又OP=,
所以,
所求函數關系式為
②若OP= (km) ,則OQ=10-,
所以OA =OB=
所求函數關系式為
(2)選擇函數模型①,
令0 得sin ,因為,所以=,
當時, , 是的減函數;當時, , 是的增函
數,所以函數在=時取得極小值,這個極小值就是最小值. .這時 (km)
因此,當污水處理廠建在矩形區(qū)域內且到A、B的距離均為 (km)時,鋪設的排污管道總長度最短.
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【題目】已知函數.
(1)求的值;
(2)若函數在區(qū)間是單調遞增函數,求實數的取值范圍;
(3)若關于的方程在區(qū)間內有兩個實數根,記,求實數的取值范圍 .
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分別為PC,BD的中點.
求證:(1)EF∥平面PAD;
(2)PA⊥平面PDC.
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【題目】已知雙曲線 =1(a>0,b>0)上一點C,過雙曲線中心的直線交雙曲線于A,B兩點,記直線AC,BC的斜率分別為k1 , k2 , 當 +ln|k1|+ln|k2|最小時,雙曲線離心率為( )
A.
B.
C. +1
D.2
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【題目】已知數列{an}滿足:a1= ,an+1= (n∈N*).
(1)求a2 , a3的值;
(2)證明:不等式0<an<an+1對于任意n∈N*都成立.
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【題目】如圖所示,⊙O1與⊙O2外切于點P,從⊙O1上點A作的切線AB,切點為B,連AP(不過O1)并延長與⊙O2交于點C.
(1)求證:AO1∥CO2;
(2)若 ,求⊙O1的半徑與⊙O2的半徑之比.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設二面角D﹣AE﹣C為60°,AP=1,AD= ,求三棱錐E﹣ACD的體積.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分別是PA,BC的中點,且AD=2PD=2.
(1)求證:MN∥平面PCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求四棱錐P-ABCD的體積.
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【題目】已知函數f(x)=2sin2x-2sin2x-a.
①若f(x)=0在x∈R上有解,則a的取值范圍是______;
②若x1,x2是函數y=f(x)在[0,]內的兩個零點,則sin(x1+x2)=______
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