Question

19．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22，短軸長(zhǎng)為16，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心距離的取值范圍是（　�。�

• A． [6，10]
• B． [6，8]
• C． [8，10]
• D． [8，11]

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得a=11，b=8，可得橢圓方程，設(shè)出P（m，n），代入橢圓方程，求出|OP|，由橢圓的范圍可得|OP|的最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得2a=22，即a=11，
2b=16，即b=8，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{121}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
設(shè)橢圓的點(diǎn)為P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{121}$+$\frac{{n}^{2}}{64}$=1，即為n²=64（1-$\frac{{m}^{2}}{121}$），
可得|OP|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+64-\frac{64}{121}{m}^{2}}$
=$\sqrt{64+\frac{57}{121}{m}^{2}}$，
由-11≤m≤11，可得m=0時(shí)，|OP|取得最小值8；
m=±11時(shí)，|OP|取得最大值11．
則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心距離的取值范圍是[8，11]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是橢圓的范圍，考查兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．