Question

8．已知a∈R，函數(shù)f（x）=e^x-1-ax的圖象與x軸相切．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x＞1時，f（x）＞m（x-1）lnx，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸相切，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，通過討論m的范圍，結合函數(shù)的單調性以及f（x）＞m（x-1）lnx，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-1-a，設切點為（x₀，0），（1分）
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=0}\\{f′{（x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=1}\end{array}\right.$（3分）
所以f′（x）=e^x-1-1．
當x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
故f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，1），單調遞增區(qū)間為（1，+∞）．（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-m（x-1）lnx，x＞0．
則g′（x）=e^x-1-m（lnx+$\frac{x-1}{x}$）-1，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x-1-m（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$），（6分）
（�。┤鬽≤$\frac{1}{2}$，
因為當x＞1時，e^x-1＞1，m（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上單調遞增．
又因為g′（1）=0，所以當x＞1時，g′（x）＞0，
從而g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x-1）lnx成立．（9分）
（ⅱ）若m＞$\frac{1}{2}$，
可得h′（x）在（0，+∞）上單調遞增．
因為h′（1）=1-2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x₁∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x₁）=0，
且當x∈（1，x₁）時，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x₁）上單調遞減，
又因為g′（1）=0，所以當x∈（1，x₁）時，g′（x）＜0，
從而g（x）在（1，x₁）上單調遞減，
而g（1）=0，所以當x∈（1，x₁）時，g（x）＜0，即f（x）＞m（x-1）lnx不成立．
縱上所述，k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．（12分）

點評 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)及其應用、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等．