Question

17．在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AB=4，CD=2，AD=BC=$\sqrt{2}$，現(xiàn)將梯形AEFD沿EF折起，并記平面AEFD與平面BEFC所成二面角的平面角為θ，BE中點(diǎn)為G．
（1）當(dāng)θ=60°時(shí)，求證：AG⊥平面AEFC；
（2）當(dāng)三棱錐D-CFG的體積取得最大值時(shí)，求DG與平面AEFD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知AF=BF，∠AFB=60°，G為FB的中點(diǎn)，可得AG⊥FB①再由E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，可得EF⊥AB，于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，進(jìn)而可得AG⊥EF②，結(jié)合①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證AG⊥平面BCEF．
（2）根據(jù)三棱錐D-CFG的底面是個(gè)常數(shù)，則只需要高最大即可，得到DF⊥平面BCFE，從而得到直線和平面所成的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵AE⊥EF，BE⊥EF，
∴∠AEB是二面角AEFD與平面BEFC的平面角，即∠AEB=θ，
∵AF=BF，∠AFB=60°，△AFB為等邊三角形．
又G為FB的中點(diǎn)，所以AG⊥FB．
在等腰梯形ABCD中，
∵E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，
∴EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，
∴AG⊥EF．
又EF與FB交于一點(diǎn)F，
∴AG⊥平面BCEF．
（2）∵△CFG的面積是個(gè)常數(shù)，
∴要使三棱錐D-CFG的體積取得最大，
則只需D到平面EFG的距離最大，即DF⊥平面BCFE即可，
此時(shí)平面AEFD⊥平面BCFE，
∵EG⊥平面AEDF，
∴∠GDE就是DG與平面AEFD所成的角，
則tan∠GDE=$\frac{EG}{DE}$，
∵EG=$\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1$，DF=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×2=1$，AD=BC=$\sqrt{2}$，
∴EF=1，
則DF=$\sqrt{2}$，
即tan∠GDE=$\frac{EG}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系：線面垂直的判定的運(yùn)用、線面角的度求解，要求考生具備一定的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．