Question

17．若以曲線y=f（x）上的任意一點M（x，y）為切點作切線L，曲線上總存在異于M的點N（x₁，y₁），使得過點N可以作切線L₁，且L∥L₁，則稱曲線y=f（x）具有“可平行性”．下面有四條曲線：
①y=x³-x  ②y=x+$\frac{1}{x}$  ③y=sinx  ④y=（x-2）²+lnx
其中具有可平行性的曲線為②③．（寫出所有滿足條件的曲線編號）

Answer 1

分析 根據導數的幾何意義，將定義轉化為：“方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根”，利用：y′=-1時，x的取值唯一判斷①不符合；對于②和③分別求出導數列出方程化簡后判斷；對于④求出導數化簡后，再由△=0時解唯一判斷④不符合．

解答 解：由題意得，曲線具有可平行性的條件是
方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根．
①由y′=3x²-1知，當y′=-1時，x的取值唯一，只有0，不符合題意；
②由y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=a（x≠0且a≠1），即$\frac{1}{{x}^{2}}$=1-a，此方程有兩不同的個根，符合題意；
③由y′=cosx和三角函數的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有無窮多個，符合題意；
④由y'=2x-4+$\frac{1}{x}$（x＞0），令2x-4+$\frac{1}{x}$=a，則有2x²-（4+a）x+1=0，當△=0時解唯一，不符合題意，
故答案為：②③．

點評 本題考查了導數的幾何意義，關鍵是將定義正確轉化為：曲線上至少存在兩個不同的點，對應的導數值相等，綜合性較強，考查了轉化思想．