Question

2．已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+a-b）e^x-$\frac{1}{2}$（x-1）（x²+2x+2），a∈R，且曲線y=f（x）與x軸切于原點O．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若f（x）•（x²+mx-n）≥0恒成立，求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a-b）+1=0，即可得到a，b的值；
（2）由題意可得（x-1）[e^x-$\frac{1}{2}$（x²+2x+2）]•（x²+mx-n）≥0，（*）由g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$（x²+2x+2），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得（x-1）（x²+mx-n）≥0恒成立，即有0，1為二次方程x²+mx-n=0的兩根，即可得到m，n的值，進而得到m+n的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（ax²+bx+a-b）e^x-$\frac{1}{2}$（x-1）（x²+2x+2）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x（2ax+ax²+bx+a）-$\frac{1}{2}$（3x²+2x），
由曲線y=f（x）與x軸切于原點O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a-b）+1=0，
即有a=0，b=1；
（2）f（x）•（x²+mx-n）≥0恒成立，即為
[（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$（x-1）（x²+2x+2）]•（x²+mx-n）≥0，
即有（x-1）[e^x-$\frac{1}{2}$（x²+2x+2）]•（x²+mx-n）≥0，（*）
由g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$（x²+2x+2）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x-x-1，
設(shè)h（x）=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1，
當x≥0時，h′（x）≥0，h（x）遞增，可得h（x）≥h（0）=0，
即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）遞增，
可得g（x）≥g（0）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$（x²+2x+2）≥0；
當x≤0時，h′（x）≤0，h（x）遞減，可得h（x）≥h（0）=0，
即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）遞減，
可得g（x）≤g（0）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$（x²+2x+2）≤0．
由（*）恒成立，可得x≥0時，（x-1）（x²+mx-n）≥0恒成立，
且x≤0時，（x-1）（x²+mx-n）≤0恒成立，
即有0，1為二次方程x²+mx-n=0的兩根，
可得n=0，m=-1，
則m+n=-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．