Question

10．在實(shí)數(shù)R中定義一種新運(yùn)算：@，對(duì)實(shí)數(shù)a，b經(jīng)過運(yùn)算a@b后是一個(gè)確定的唯一的實(shí)數(shù)．@運(yùn)算有如下性質(zhì)：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，a@0=a；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：關(guān)于函數(shù)f（x）=e^x@$\frac{1}{{e}^{x}}$的性質(zhì)下列說法正確的是：①函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，這三種說法正確的有①②③．

Answer 1

分析 由題意寫出函數(shù)f（x）的解析式，再分析題目中的3個(gè)命題是否正確．

解答 解：由題意，a@b=ab+（a@0）+（b@*0），且a*0=a，
所以a@b=ab+a+b；
所以f（x）=（e^x）@$\frac{1}{{e}^{x}}$=e^x•$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
對(duì)于②，f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=1+e^-x+$\frac{1}{{e}^{-x}}$=1+$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，②正確；
對(duì)于③，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≤0，則x≤0，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），③正確；
對(duì)于①，由②③得：f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（0）=3，①正確；
綜上，正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)新定義函數(shù)問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用問題．