Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1，0），B（4，0），直線x-y+m=0上存在唯一的點(diǎn)P滿足$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{2}$，則實(shí)數(shù)m的取值集合是{-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)P（x，x+m），由$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{2}$得出4|PA|²=|PB|²，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出m的解析式，
通過三角函數(shù)代換即可得出它的取值集合．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)P（x，x+m），
∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∴4|PA|²=|PB|²，
∴4（x-1）²+4（x+m）²=（x-4）²+（x+m）²，
化為（x+m）²=4-x²，
∴4-x²≥0，解得x∈[-2，2]，
∴m=-x±$\sqrt{4{-x}^{2}}$，
令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=-2cosθ±2sinθ
=±2$\sqrt{2}$sin（θ±$\frac{π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$}．
故答案為：{-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、和差化積、三角函數(shù)的求值與應(yīng)用問題，是綜合性題目．