9．在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小螞蟻從△ABC的內(nèi)切圓的圓心處開(kāi)始隨機(jī)爬行，當(dāng)螞蟻（在三角形內(nèi)部）與△ABC各邊距離不低于1個(gè)單位時(shí)其行動(dòng)是安全的，則這只小螞蟻在△ABC內(nèi)任意行動(dòng)時(shí)安全的概率是（　　）
A．$\frac{1}{4}$B．$\frac{4}{9}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{2}{3}$

分析 由題意，與△ABC各邊距離等于1個(gè)單位，組成的圖形△A′B′C′與△ABC相似，內(nèi)切圓半徑為1，求出△A′B′C′與△ABC的面積比為1：4，即可求出這只小螞蟻在△ABC內(nèi)任意行動(dòng)時(shí)安全的概率．

解答 解：由題意，與△ABC各邊距離等于1個(gè)單位，組成的圖形△A′B′C′與△ABC相似，內(nèi)切圓半徑為1，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則$\frac{1}{2}×5×12=\frac{5+12+13}{2}×r$，∴r=2，
∴△A′B′C′與△ABC的相似比為1：2，
∴△A′B′C′與△ABC的面積比為1：4，
∴這只小螞蟻在△ABC內(nèi)任意行動(dòng)時(shí)安全的概率是$\frac{1}{4}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型，考查面積為測(cè)度，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

19．觀察下列等式：

可以推測(cè)：13+23+33+…+n3=________（n∈N*，用含n的代數(shù)式表示）．（　�。�
A．$\frac{1}{4}{n^2}{（n-1）^2}$B．$\frac{1}{4}{n^2}{（n-2）^2}$C．$\frac{1}{4}{n^2}{（n+1）^2}$D．$\frac{1}{4}{n^2}{（n+2）^2}$

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20．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，b=a-2ea，c+d=4，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（　�。�
A．16B．18C．20D．22

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17．如圖所示，正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長(zhǎng)為2，若P為該正八邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$的取值范圍為（　�。�
A．$[0，8+6\sqrt{2}]$B．$[-2\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$C．$[-8-6\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$D．$[-8-6\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$

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4．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+5y≥5\\ x+y≤5\\ x≥0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)集T={（x0，y0）|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為（　�。�
A．10B．11C．15D．16

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14．某綜藝節(jié)目為增強(qiáng)娛樂(lè)性，要求現(xiàn)場(chǎng)嘉賓與其場(chǎng)外好友連線互動(dòng)．凡是拒絕表演節(jié)目的好友均無(wú)連線好友的機(jī)會(huì)；凡是選擇表演節(jié)目的好友均需連線未參加過(guò)此活動(dòng)的3個(gè)好友參與此活動(dòng)，以此下去．
（Ⅰ）假設(shè)每個(gè)人選擇表演與否是等可能的，且互不影響，則某人選擇表演后，其連線的3個(gè)好友中不少于2個(gè)好友選擇表演節(jié)目的概率是多少？
（Ⅱ）為調(diào)查“選擇表演者”與其性別是否有關(guān)，采取隨機(jī)抽樣得到如表：
 選擇表演拒絕表演合計(jì)
男501060
女101020
合計(jì)602080
①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為“表演節(jié)目”與好友的性別有關(guān)？
②將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查3名男性好友，設(shè)X為3個(gè)人中選擇表演的人數(shù)，求X的分布列和期望．
附：K2=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$；
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010
k02.0722.7063.8415.0246.635

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1．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=4|$\overrightarrow$|．設(shè)$\overrightarrow$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，則cosθ=（　�。�
A．$\frac{1}{4}$B．$-\frac{1}{4}$C．$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$D．$-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$

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18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a2+b2=2c2，則角C的取值范圍是（　　）
A．$（{0，\frac{π}{3}}]$B．$（{0，\frac{π}{3}}）$C．$（{0，\frac{π}{6}}]$D．$（{0，\frac{π}{6}}）$

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19．如圖所示，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a＞b＞0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，PO⊥F2M，且$\overrightarrow{{F_1}M}=λ\overrightarrow{MP}$．
（1）當(dāng)$a=2\sqrt{2}$，b=2，且PF2⊥F1F2時(shí)，求λ的值；
（2）若λ=2，試求橢圓C離心率e的范圍．

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