Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}={a_n}+ln（1+\frac{1}{n}）$，則a_n=（　　）

• A． 1+nlnn
• B． 1+（n-1）lnn
• C． 1+lnn
• D． 1+n+lnn

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得${a}_{n}-{a}_{n-1}=ln\frac{n}{n-1}$（n≥2），然后利用累加法求n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，已知首項(xiàng)后得答案．

解答 解：由${a_{n+1}}={a_n}+ln（1+\frac{1}{n}）$，
得${a}_{n}={a}_{n-1}+ln（1+\frac{1}{n-1}）$，即${a}_{n}-{a}_{n-1}=ln\frac{n}{n-1}$（n≥2），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$ln\frac{n}{n-1}+ln\frac{n-1}{n-2}+…+ln1+1$
=$ln（\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}…1）+1$
=1+lnn（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=1+lnn．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．