Question

 

已知直線經(jīng)過橢圓    

的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢

圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線

分別交于兩點(diǎn)。

   （I）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；

   （Ⅲ）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這

樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：

（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

      故橢圓的方程為

（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而

由得0

設(shè)則得，從而    

即又

由得

故

又   

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立   

時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)取最小值時(shí)，

     此時(shí)的方程為

     要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。

設(shè)直線

則由解得或