（本小題14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點。

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求線段的長度的最小值；

（Ⅲ）當線段的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由。

 

【答案】

（I）；（Ⅱ）時，線段的長度取最小值

（Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上存在2個不同的點，使得的面積為

【解析】

試題分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），上頂點為D（0，1，由此能求出橢圓C的方程．（2）設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(，k)．由題設條件可以求出N(，-)，所以|MN|得到表示，再由均值不等式進行求解

（3）在第二問的基礎上確定了直線BS的斜率得到直線方程，利用點到直線的距離得到l‘,然后得到分析方程組的解的個數(shù)即為滿足題意的點的個數(shù)。

解：（I） ；故橢圓的方程為

（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而

由得0

設則得，

從而即又

由得

故 

 又

當且僅當，即時等號成立。

時，線段的長度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，

     此時的方程為

     要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設直線

則由解得或

當時， 得，，故有2個不同的交點；

當時，得，，故沒有交點；

綜上：當線段MN的長度最小時，在橢圓上存在2個不同的點，使得的面積為

考點：本試題主要考查了橢圓與直線的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．

點評：解決該試題的關鍵是能利用橢圓的幾何性質表述出|MN|，同時結合均值不等式求解最小值。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題14分）已知圓點，過點作圓的切線為切點．

（1）求所在直線的方程；

（2）求切線長；

（3）求直線的方程．

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（本小題14分）

已知等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若，，求使  成立的正整數(shù)的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年四川省成都市高新區(qū)高三2月月考理科數(shù)學試卷（解析版 題型：解答題

（本小題14分）已知函數(shù)，設。

（Ⅰ）求F（x）的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若以圖象上任意一點為切點的切線的斜率 恒成立，求實數(shù)的最小值。

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說名理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年陜西省高三上學期月考理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題14分）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于點

 

對稱

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若，在區(qū)間上的值不小于6，求實數(shù)a的取值范圍．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年四川省高三2月月考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本小題14分）

已知函數(shù)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷，定義：

，，其中表示函數(shù)在D上的最小值，表示函數(shù)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”

（1）若，試寫出，的表達式；

（2）已知函數(shù)試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”，

如果是，求出對應的k，如果不是，請說明理由；

已知，函數(shù)是[0,b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍

 

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