Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間
（2）已知f（α）=2+$\sqrt{3}$，且$α∈[0，\frac{π}{3}]$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，化簡函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間
（2）由$f（α）=2+\sqrt{3}$，得$2sin（2α+\frac{π}{6}）+2=2+\sqrt{3}$，結合$α∈[0，\frac{π}{3}]$，求α的值．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2•\frac{1+cos2x}{2}+1=\sqrt{3}sin2x+cos2x+2$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$
所以最小正周期為 $T=\frac{2π}{2}=π$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈Z）$…（6分）
（2）由$f（α）=2+\sqrt{3}$，得$2sin（2α+\frac{π}{6}）+2=2+\sqrt{3}$，
所以$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
所以$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}+2{k_1}π$，或$2α+\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}+2{k_2}π$（k₁，k₂∈Z）
即$α=\frac{π}{12}+{k_1}π$或$α=\frac{π}{4}+{k_2}π$，
因為 $α∈[0，\frac{π}{3}]$，所以$α=\frac{π}{12}$…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．