Question

8．已知5名發(fā)熱感冒患者中，有1人被H7N9禽流感病毒感染，需要通過化驗(yàn)血液來確定誰是H7N9禽流感患者，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為普通感冒患者，呈陰性的即為禽流感患者，下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個化驗(yàn)，知道能確定禽流感患者為止；
方案乙：先任選3人，將他們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則表明禽流感患者在他們3人之中，然后再逐個化驗(yàn)，直到確定禽流感患者為止；若結(jié)果呈陽性，則在另外2人中任選1人化驗(yàn)．
（1）求依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)恰好為2的概率；
（2）試比較兩種方案，哪種方案有利于盡快查找到禽流感患者．

Answer 1

分析 （1）分兩類討論①先化驗(yàn)3人，結(jié)果為陰性，②先化驗(yàn)3人，結(jié)果為陽性；
（2）分別求出方案甲和方案乙的分布列和均值，通過對比得出結(jié)論．

解答 解：（1）用方案乙，化驗(yàn)2次出結(jié)果，有兩種可能：
①先化驗(yàn)3人，結(jié)果為陰性，再從這3人中逐個化驗(yàn)，
則恰好一次驗(yàn)中的概率為P₁=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$，
②先化驗(yàn)3人，結(jié)果為陽性，再從其他2人中任選1人化驗(yàn)，
并且無論第二次是否驗(yàn)中均結(jié)束，其概率為P₂=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$；
所以，用方案乙化驗(yàn)2次出結(jié)果的概率為P=P₁+P₂=$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$；
（2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為η，則根據(jù)題意，
η可取1，2，3，4，有四種情況，概率如下：
P（η=1）=$\frac{1}{5}$，P（η=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{1}{•C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{5}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{1}{•C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{5}$，P（η=4）=$\frac{2}{5}$，
所以η的均值（期望）為Eη=$\frac{14}{3}$，
設(shè)用方案乙化驗(yàn)次數(shù)為ξ，ξ可取2或3，
且P（ξ=2）=$\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{2}{5}$，
所以ξ的均值（期望）為Eξ=$\frac{12}{5}$，
由于Eη＞Eξ，所以，用方案乙化驗(yàn)次數(shù)的均值較小，更有利于盡快查到禽流感患者．

點(diǎn)評 本題主要考查了隨機(jī)事件概率的計算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列的均值與方差，屬于中檔題．