Question

3．函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x的圖象向左平移$φ（0＜φ＜\frac{π}{2}）$個(gè)單位后，得到的函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，則（　�。�

• A． g（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)$x=\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)
• B． g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱(chēng)
• C． g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上遞增
• D． g（x）在[0，π]上遞減

Answer 1

分析 把函數(shù)式f（x）=sin2x+cos2x化積為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后利用三角函數(shù)的圖象平移得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+2φ），結(jié)合該函數(shù)為偶函數(shù)求得φ的最小正值，可求g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷得解．

解答 解：∵由f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
把該函數(shù)的圖象左移φ個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+φ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+2φ）．
又∵偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則$\frac{π}{4}$+2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴則φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ的值是$\frac{π}{8}$，可得：g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
∴當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，g（x）_min=-$\sqrt{2}$，g（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)$x=\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)，A正確；
當(dāng)x=π時(shí)，g（π）=$\sqrt{2}$，B錯(cuò)誤；
由g（x）=$\sqrt{2}$cos2x在$[0，\frac{π}{2}]$上遞減，[$\frac{π}{2}$，π]上單調(diào)遞增，故C、D錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象平移，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．