Question

15．將二項(xiàng)式${（{\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^n}$的展開(kāi)式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開(kāi)式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有（　�。�

• A． 3個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 5個(gè)
• D． 6個(gè)

Answer 1

分析 寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求出n，進(jìn)而可求展開(kāi)式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答 解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）^r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴前三項(xiàng)的系數(shù)分別是1，$\frac{1}{2}$n，$\frac{1}{8}$n（n-1），
∵前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列
∴2•$\frac{1}{2}$n=1+$\frac{1}{8}$n（n-1）
∴n=8，
∴當(dāng)n=8時(shí)，T_r+1=${C}_{n}^{r}$×（$\frac{1}{2}$）^r×x${\;}^{\frac{2n-3r}{3}}$（r=0，1，2，…，n），
∴r=0，4，8，展開(kāi)式中x的指數(shù)是整數(shù)
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式，考查等差數(shù)列的運(yùn)用，考查展開(kāi)式的特殊項(xiàng)，確定n是關(guān)鍵．