Question

函數(shù)f（x）=-x²+4tx-1在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為g（t）
（1）求g（t）的解析式；
（2）求g（t）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸固定，區(qū)間不固定，須分軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間三種情況討論，找出g（t）的表達(dá)式，再求其最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x²+4tx-1，
∴x=2t為對(duì)稱(chēng)軸，
①當(dāng)t≥1時(shí)，
∵f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞增，
∴最大值為g（t）=f（t+1）=-（t+1）²+4t（t+1）-1=3t²+2t-2，t≥1，
②當(dāng)0≤t＜1時(shí)，∵2t∈[t，t+1]，
最大值為g（t）=f（2t）=-（2t）²+4t（2t）-1=4t²-1，0≤t＜1，
③當(dāng)t＜0時(shí)，∵f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
∴最大值為g（t）=f（t）=-t²+4t²-1=3t²-1，t＜0，
綜上：g（t）=

3t2+2t-2，t≥1 4t2-1，0≤t≤1 3t2-1，t＜0

（2）g（t）=

3t2+2t-2，t≥1 4t2-1，0≤t≤1 3t2-1，t＜0

根據(jù)解析式可得g（t）的單調(diào)性得出：
∵當(dāng)t≥1時(shí)，3t²+2t-2≥3，
當(dāng)0≤t＜1時(shí)，-1≤4t²-1＜3，
當(dāng)t＜0時(shí)，3t²-1＞-1，
∴g（t）的值域?yàn)閇-1，+∞），
∴g（t）的最小值為-1，無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題的實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般是根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)果．